白噪聲是時間序列預測中的一個重要概念。如果一個時間序列是白噪聲，它是一個隨機數序列，不能預測。如果預測誤差不是白噪聲，它暗示了預測模型仍有改進空間。

什么是白噪聲時間序列？

時間序列可能是白噪聲。時間序列如果變量是獨立的且恒等分布的均值為0，那么它是白噪聲。這意味著所有變量具有相同的方差 (sigma^2)，并且每個值與該系列中的所有其他值具有零相關。

如果序列中的變量被高斯分布繪制，則該系列稱為高斯白噪聲。

為什么這么重要？

白噪聲是時間序列分析和預測中的一個重要的概念。

重要的兩個主要原因為：

1.可預測性：如果你的時間序列是白噪聲，那么根據定義它是隨機的。你無法對它合理的建模并進行預測。

2.模型診斷：時間序列上一系列誤差的預測模型最好是白噪聲。

模型診斷是時間序列預測的重要領域。

時間序列數據在潛在的因素產生的信號上被預測，它包含一些白噪聲成分。

例如：

y(t)= signal(t)+ noise(t)

通過時間序列預測模型進行預測，可以對其進行收集和分析。在理想情況下，預測誤差應該是白噪聲。

當預測誤差為白噪聲時，意味著時間序列中的所有信號已全部被模型利用進行預測。剩下的就是無法建模的隨機波動。

模型預測的信號不是白噪聲則表明可以進一步對預測模型改進。

你的時間序列白噪音嗎?

你的時間序列如果符合下面條件則不是白噪聲:

你的序列均值為零嗎?

方差隨時間變化嗎?

值與延遲值相關嗎?

你可以用一些工具來檢查你的時間序列是否為白噪音:

創建一個折線圖。檢查總體特征，如變化的平均值，方差或延遲變量之間的明顯關系。

計算匯總統計。對照序列中有意義的連續塊的均值和方差，檢查整個序列的均值和方差(如年、月、日)。

創建一個自相關的圖。檢查延遲變量之間的總體相關性。

白噪聲時間序列的例子

在本節中,我們將使用Python創建一個高斯白噪聲序列并做一些檢查。它有助于在實踐中創建和評估白噪聲時間序列。它將提供參考框架和示例圖并且使用和比較自己的時間序列項目的統計測試，以檢查它們是否為白噪聲

首先，我們可以使用隨機模塊的gauss()函數創建一個1,000個隨機高斯變量的列表。

我們將從高斯分布提取變量：平均值(mu)0.0和標準偏差(sigma)1.0。

一旦創建,為方便起見，我們可以在Pandas序列中打包這個列表。

from ranDOmimport gaussfrom randomimport seedfrom pandasimport Seriesfrom pandas.tools.plottingimport autocorrelation_plot
# seed random number generatorseed(1)# create white noise series
series= [gauss(0.0,1.0)for iin range(1000)]series= Series(series)

接下來，我們可以計算和打印一些匯總統計數據，包含序列的平均值和標準偏差。

# summary statsprint(series.describe())

鑒于我們在繪制隨機數時定義了平均值和標準偏差，所以應該不會有意外。

count   1000.000000mean振動分析      -0.013222std        1.003685min        -2.96121425%        -0.68419250%        -0.01093475%         0.703915max         2.737260

我們可以看到平均值接近0.0，標準偏差接近1.0?？紤]到樣本較小預測會有些誤差。

如果我們有更多的數據，將序列分成兩半計算和比較每一半的匯總統計可能會更有趣。我們認為每個子系列的平均值和標準差都會相似。

現在我們可以創建一些序列的線條圖。

# line plot
series.plot()pyplot.show()

我們可以看到，這個序列似乎是隨機的。

我們還可以創建直方圖，并確認分布是高斯分布。

# histogram plot
series.hist()pyplot.show()

事實上，直方圖顯示了典型的鐘形曲線。

最后，我們可以創建一個自相關圖并檢查延遲變量的所有自相關。

# autocorrelationautocorrelation_plot(series)pyplot.show()

自相關圖沒有顯示任何顯著的自相關特征。在峰值時可信度達在95％和99％，但這只是統計的偶然情況。

為了完整性，下面提供了完整的代碼清單。

from randomimport gaussfrom randomimport seedfrom pandasimport Seriesfrom pandas.tools.plottingimport autocorrelation_plotfrom matplotlibimport pyplot
# seed random number generatorseed(1)# create white noise series
series= [gauss(0.0,1.0)for iin range(1000)]series= Series(series)# summary statsprint(series.describe())# line plot
series.plot()pyplot.show()# histogram plot
series.hist()pyplot.show()# autocorrelationautocorrelation_plot(series)pyplot.show()

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